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(6)找到0和1个数相等的最大子数组

给定一个数组,它的元素是0和1,请找出最大的子数组,使这个子数组的元素中0和1的个数相等。

例如,输入
{ 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0 }
输出
Largest subarray is { 0, 1, 0, 1 } or { 1, 0, 1, 0}

 

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(5)找到和等于给定值的最长子数组

给定一个数组,它有n个元素,元素类型为整形。给定一个值,如果能找出1到多个子数组,使子数组中所有元素的和等于给定值。请求出这个多个子数组中最长的那个子数组。

例如,给定如下数组和值:
A[] = { 5, 6, -5, 5, 3, 5, 3, -2, 0 }
Sum = 8

那么,和为8的子数组有3个,分别是:
{ -5, 5, 3, 5 }
{ 3, 5 }
{ 5, 3 }

其中,最长的子数组是
{ -5, 5, 3, 5 },它的长度为4。
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(4/500)从有限范围的数组中找出重复元素

给定一个数组,它有n个元素,数组中包含1到n-1这些值。在这个数组中,除了一个元素是重复的,其他元素都只出现了一次。请找出重复的元素。

例如,
输入: { 1, 2, 3, 4, 4 }
输出:The duplicate element is 4

输入:{ 1, 2, 3, 4, 2 }
输出:The duplicate element is 2
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(3/500)在线性时间内对二进制数组排序

给定一个二进制数组(数组元素是0和1),请对数组进行排序,要求时间复杂度为O(n),空间复杂度为O(1)。输出内容应该是所有的0在前,之后是所有的1。
例如,
输入:{ 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1 }
输出:{ 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1 }

 

1. 傻瓜式方法

一种简单的方法是计算数组中0的个数(假设为k),然后把数组的前k个元素置为0,其他的置为1。同样道理,也可以计算1的个数(假设为k),然后把前面的k个元素置为1,其他的置为0。二者选一即可。实现方式比较简单,代码就省略了。

 

2. 填充0的另一种想法

和计算0的个数相比,我们可以换种方法。如果当前元素是0,我们可以把0放到下一个可用的位置。在所有的元素都处理了之后, 把其它所有的元素都置为1。

C++语言实现:


#include
using namespace std;

// Function to sort binary array in linear time
int Sort(int A[], int n)
{
// k stores index of next available position
int k = 0;

// do for each element
for (int i = 0; i < n; i++) { // if current element is zero, put 0 at next free // position in the array if (A[i] == 0) A[k++] = 0; } // fill all remaining indexes by 1 for (int i = k; i < n; i++) A[k++] = 1; } // main function int main() { int A[] = { 0, 0, 1, 0,1, 1, 0, 1, 0, 0 }; int n = sizeof(A)/sizeof(A[0]); Sort(A, n); // print the rearranged array for (int i = 0 ; i < n; i++) cout << A[i] << " "; return 0; } [/cpp] java语言实现: [java] class SortBinaryArray { // Function to sort binary array in linear time public static void Sort(int A[], int n) { // k stores index of next available position int k = 0; // do for each element for (int i = 0; i < n; i++) { // if current element is zero, put 0 at next free // position in the array if (A[i] == 0) A[k++] = 0; } // fill all remaining indexes by 1 for (int i = k; i < n; i++) A[k++] = 1; } // main function public static void main (String[] args) { int A[] = { 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0 }; int n = A.length; Sort(A, n); // print the rearranged array for (int i = 0 ; i < n; i++) System.out.print(A[i] + " "); } } [/java] 输出: 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1

以上两种方案的时间复杂度都是O(n),空间复杂度都是o(1)。

 

3. 基于快速排序分而治之的算法

除了以上两种方法,我们还可以借用快速排序中分而治之的思想。这种方法的关键是使用1作为主元素(pivot element),然后创建一个分区过程,最后的结果就是排好序的。

C++语言实现:


#include
using namespace std;

// Function to sort binary array in linear time
int Partition(int A[], int n)
{
int pivot = 1;
int j = 0;

// each time we encounter a 0, j is incremented and
// 0 is placed before the pivot
for (int i = 0; i < n; i++) { if (A[i] < pivot) { swap(A[i], A[j]); j++; } } } // main function int main() { int A[] = { 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1 }; int n = sizeof(A)/sizeof(A[0]); Partition(A, n); // print the rearranged array for (int i = 0 ; i < n; i++) cout << A[i] << " "; return 0; } [/cpp] java语言实现: [java] class SortBinaryArray { // Function to sort binary array in linear time public static void Sort(int A[], int n) { int pivot = 1; int j = 0; // each time we encounter a 0, j is incremented and // 0 is placed before the pivot for (int i = 0; i < n; i++) { if (A[i] < pivot) { // swap (A[i], A[j]) int temp = A[i]; A[i] = A[j]; A[j] = temp; j++; } } } // main function public static void main (String[] args) { int A[] = { 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0 }; int n = A.length; Sort(A, n); // print the rearranged array for (int i = 0 ; i < n; i++) System.out.print(A[i] + " "); } } [/java] 输出: 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1

尽管以上各种方法时间复杂度是O(n),空间复杂度是O(1),明显第三种方法的时间更少。

 

4. 通过首尾两个索引排序

我还能想到另外一种解决方案,新建两个索引分别指向首尾(head 和 end),向中间聚拢,当head指向的数字不为0,并且end指向的数字不为1时,交换它们的位置,直到head大于或等于end。

闲话少说,上代码。偷一下懒,我就只写Java代码了。


public class SortBinaryArray2 {

// Function to sort binary array in linear time
public static void Sort(int A[], int n)
{
int head = 0;
int end = A.length – 1;

while( head < end ) { while( A[head] == 0 && head < A.length -1 ) { head ++; } while( A[end] == 1 && end > 0 )
{
end –;
}
if( head >= end )
{
break;
}
int temp = A[head];
A[head] = A[end];
A[end] = temp;
}
}

public static void main(String[] args) {
int A[] = { 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0 };
int n = A.length;

Sort(A, n);

// print the rearranged array
for (int i = 0 ; i < n; i++) { System.out.print(A[i] + " "); } } } [/java] 这种方法是不是更省时? ^_^

 

练习:
1. 在原方案的基础上修改方案,把1放在前面。
2. 给定一个数组,在线性时间内(时间复杂度为O(n))排序,使所有的偶数排在奇数之前。

(2/500)打印出和为0的所有子数组

给定一个整型数组,请打印出元素和为0的所有子数组。
例如,
输入:

{ 4, 2, -3, -1, 0, 4 }
输出:
Sub-arrays with 0 sum are
{ -3, -1, 0, 4 }
{ 0 }

输入:
{ 3, 4, -7, 3, 1, 3, 1, -4, -2, -2 }
输出:
Sub-arrays with 0 sum are
{ 3, 4, -7 }
{ 4, -7, 3 }
{ -7, 3, 1, 3 }
{ 3, 1, -4 }
{ 3, 1, 3, 1, -4, -2, -2 }
{ 3, 4, -7, 3, 1, 3, 1, -4, -2, -2 }

 

1. 傻瓜式方法

傻瓜式方法的想法很简单,遍历数组的所有子数组,并计算它们的和。如果子数组的和等于0,那么就打印它。它的时间复杂度是 O(n3),因为一共有 n(n+1)/2(注:原文n2不对)个子数组,花费的时间是O(n2),然后还要花费 O(n)的时间求元素的和。当然,如果在找子数组的同时计算元素的和,那么这种方法可以优化成O(n2)时间。

C++语言实现:

#include <iostream>
#include <unordered_map>
using namespace std;
 
// Function to print all sub-arrays with 0 sum present
// in the given array
void printallSubarrays(int arr[], int n)
{
    // consider all sub-arrays starting from i
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int sum = 0;
 
        // consider all sub-arrays ending at j
        for (int j = i; j < n; j++)
        {
            // sum of elements so far
            sum += arr&#91;j&#93;;
 
            // if sum is seen before, we have found a sub-array 
            // with 0 sum
            if (sum == 0)
                cout << "Subarray &#91;" << i << ".." << j << "&#93;\n";
        }
    }
}
 
// main function
int main()
{
    int arr&#91;&#93; = { 3, 4, -7, 3, 1, 3, 1, -4, -2, -2 };
    int n = sizeof(arr)/sizeof(arr&#91;0&#93;);
 
    printallSubarrays(arr, n);
 
    return 0;
}
&#91;/cpp&#93;


Java语言实现:
&#91;java&#93;
class PrintallSubarrays
{
    // Function to print all sub-arrays with 0 sum present
    // in the given array
    public static void printallSubarrays(int arr&#91;&#93;)
    {
        // n is length of the array
        int n = arr.length;
 
        // consider all sub-arrays starting from i
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            int sum = 0;
     
            // consider all sub-arrays ending at j
            for (int j = i; j < n; j++)
            {
                // sum of elements so far
                sum += arr&#91;j&#93;;
     
                // if sum is seen before, we have found a sub-array with 0 sum
                if (sum == 0)
                    System.out.println("Subarray &#91;" + i + ".." + j + "&#93;");
            }
        }
    }
 
    // main function
    public static void main (String&#91;&#93; args)
    {
        int arr&#91;&#93; = { 3, 4, -7, 3, 1, 3, 1, -4, -2, -2 }; 
        printallSubarrays(arr);
    }
}
&#91;/java&#93;

<strong>输出:</strong><span style="font-family: consolas; font-size: small;">
Subarray [0..2]
Subarray [0..9]
Subarray [1..3]
Subarray [2..5]
Subarray [3..9]
Subarray [5..7]</span>

<br>
<div style="background-color: #99CCFF; height: 1px;">&nbsp;</div>
<h3>2. 使用map打印子数组</h3>
我们可以使用map打印所有和为0的子数组,子数组信息存放在另外的数组中并作为map的value。开始,我们创建一个空map存放所有和等于给定值的子数组的的结束下标。其中,key是和,value就是之前提到的另外一个数组,此数组中存放的就是和等于key的所有子数组的结束下标。我们遍历给定数组,在遍历过程中维护目前所遍历过的元素的和。如果元素的和在之前见过,那就意味着至少存在一个子数组和为0,子数组的结束下标就是当前遍历的下标,这样我们就能打印出所有的子数组。

C++语言实现:
[cpp]
#include <iostream>
#include <unordered_map>
using namespace std;
 
// Function to print all sub-arrays with 0 sum present
// in the given array
void printallSubarrays(int arr[], int n)
{
    // create an empty multi-map to store ending index of all
    // sub-arrays having same sum
    unordered_multimap<int, int> map;
 
    // insert (0, -1) pair into the map to handle the case when
    // sub-array with 0 sum starts from index 0
    map.insert(pair<int, int>(0, -1));
 
    int sum = 0;
    
    // traverse the given array
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        // sum of elements so far
        sum += arr&#91;i&#93;;
 
        // if sum is seen before, there exists at-least one 
        // sub-array with 0 sum
        if (map.find(sum) != map.end())
        {
            auto it = map.find(sum);
 
            // find all sub-arrays with same sum
            while (it != map.end() && it->first == sum)
            {
                cout << "Subarray &#91;" << (it->second + 1) << ".." << i << "&#93;\n";
                it++;
            }
        }
 
        // insert (sum so far, current index) pair into multi-map
        map.insert(pair<int, int>(sum, i));
    }
}
 
// main function
int main()
{
    int arr[] = { 3, 4, -7, 3, 1, 3, 1, -4, -2, -2 };
    int n = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]); 
    printallSubarrays(arr, n); 
    return 0;
}

java语言实现:

import java.util.HashMap;
import java.util.Map;
import java.util.ArrayList;
 
class PrintallSubarrays
{
    // Utility function to insert <key, value> into the Multimap
    private static void insert(Map<Integer, ArrayList> hashMap, 
                                Integer key, Integer value) 
    {
        // if key is already present
        if (hashMap.containsKey(key))
        {
            hashMap.get(key).add(value);
        }else
        // key is seen for the first time
        {
            ArrayList<Integer> list = new ArrayList<Integer>();
            list.add(value); 
            hashMap.put(key, list);
        }
    }
 
    // Function to print all sub-arrays with 0 sum present
    // in the given array
    public static void printallSubarrays(int arr[])
    {
        // n is length of the array
        int n = arr.length;
        
        // create an empty Multi-map to store ending index of all
        // sub-arrays having same sum
        Map<Integer, ArrayList> hashMap = new 
                                    HashMap<Integer, ArrayList>();
 
        // insert (0, -1) pair into the map to handle the case when
        // sub-array with 0 sum starts from index 0
        insert(hashMap, 0, -1);
     
        int sum = 0;
        
        // traverse the given array
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            // sum of elements so far
            sum += arr&#91;i&#93;;
     
            // if sum is seen before, there exists at-least one 
            // sub-array with 0 sum
            if (hashMap.containsKey(sum))
            {
                ArrayList<Integer> list = hashMap.get(sum);
 
                // find all sub-arrays with same sum
                for (Integer value: list) {
                    System.out.println("Subarray [" + (value + 1) + ".." +  i + "]");
                }
            }
 
            // insert (sum so far, current index) pair into the Multi-map
            insert(hashMap, sum, i);
        }
    }
 
    // main function
    public static void main (String[] args)
    {
        int A[] = { 3, 4, -7, 3, 1, 3, 1, -4, -2, -2 }; 
        printallSubarrays(A);
    }
}

输出:
Subarray [0..2]
Subarray [1..3]
Subarray [2..5]
Subarray [5..7]
Subarray [3..9]
Subarray [0..9]

这样,只需遍历一次数组就能求出所有的子数组。

 

练习: 打印出和为非0的所有子数组。