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Java中浮点数的存储格式

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  当一个同事问我:Java中的double的取值范围是多少时,我一脸的茫然,除了知道浮点数由符号位、指数位和小数位组成之外,其它的一无所知。大学里《计算机组成》中学的东西也忘得一干二净。
  查了一些资料,并亲手写了些测试代码,总算弄明白了,在此做个笔记。

1.三种存储格式
  Java遵循的是IEEE 754 规范。在这个规范里,提到了浮点数的三种类型:单精度、双精度和双精度扩展。
  这三种类型的浮点数的存储都由三部分组成:符号位、指数位和小数位组成,不同的是三者指数位和小数位的位数不一样。
  IEEE 单精度格式具有24 位有效数字精度,并总共占用32 位。IEEE 双精度格式具有53 位有效数字精度,并总共占用64 位。至于双精度扩展,IEEE规定它至少具有64 位有效数字精度,并总共占用至少79 位。

2.双精度格式
  现在,我们仅仅对双精度浮点数,也就是double进行分析,其它的两种可以此类推,不必赘述。
  IEEE 双精度格式由三部分组成:52位小数f ;11 位偏置指数e ;以及1 位符号s。
  这些字段连续存储在两个32 位字中。如下图所示:
Storage of Double

  将这两个连续的32 位字按一个64 位字那样进行了编号,其中0:51 位存储52 位的小数f ; 52:62 位存储11 位偏置指数e ;而第63 位存储符号位s。
  s为0表示整数,1则为负数。
  e[52:62]总共11位表示偏置指数,也就是阶码部分。它是一个无符号数,取值范围是[0,2047]。当0<e<2047时,它表示的指数值为e-1023;当它为0时,表示的指数值为-1022;而当e=2047时,它表示无穷大或无意义的数(这个稍后再讨论)。
  现在,就剩下最后的小数部分了,也就是尾数。
  小数分为规格化数和非规格化数。规格化数的小数点左边隐含了1,而非规格化数小数点左边是0。小数点左边隐含1有什么好处呢?我们知道,任何一个小数都可以用科学计数法表示:一个小数可以表示成 a×10n的形式,其中1≤a<10,n表示整数。在十进制里,a的整数部分必定是1-9的整数。而在二进制里,a的整数部分就只能是1了。既然必定是1,那么为这个常量浪费1位存储空间显然不划算了,不如省掉,因此1就隐含了。这也就是为什么0<e<2047时,小数部分使用规格化数的原因。
  那么为什么当e=0时,它的小数部分又是非规格化数呢?原因很简单,如果此时也用规格化数,那么它的取值范围必定会出现断层。也就是说,在最大值和最小值之间,还有部分数字取值范围的数字无法表示。
  上面,我们提到了当e=2047时,它表示无穷大或无意义的数。如果此时,小数部分全0,它就是无穷大,至于是正无穷大还是负无穷大由符号位决定,如果小数部分至少有1位不为0,那么它就是无意义的数。
  用图表表示如下:
Binary Bit Model of Double
  双精度存储格式位模式及其IEEE 值的位模式的对应关系可参见下表:
Binary and Decimal Bit Model of Double

  上图中的无意义数(NaN,非数)的位模式只是可表示NaN的众多位模式中的一种而已。另外,我们注意到,尽管+0和-0的十进制值是相等的,但它们的位模式却不一样。

3.代码示例
  既然对存储格式已经了解清楚了,我们可以通过编写代码来验证其正确性,顺便加深对浮点数存储的理解。
  Java中的类Double封装了double的操作,我们很容易通过Double来操作double. 函数Double.longBitsToDouble()可以把给定的位模式转换成double。如果要验证十六进制的0x7fefffffffffffff位模式是不是十进制的,这个很容易,只需要如下两行代码:
       double value =  Double.longBitsToDouble(0x7fefffffffffffffL);
       System.out.println(value);
我们可以看到,输出结果是:
    1.7976931348623157E308
这与我们期望中的也是吻合的。
  其它的例子我就不逐一演示,这儿我附上代码的链接。<下载>

参考资料:
1.IEEE Standard 754 for Binary Floating-Point Arithmetic
2.Numerical Computation Guide(http://gceclub.sun.com.cn/TT/sunstudio/NCG/819-4817-10.pdf)

(完)




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